Définition de la transformée de Fourier
Pratique
Une image est avant tout un signal. De même que les signaux 1D présentent des changements d'amplitude (sonore) dans le temps, les signaux 2D présentent des variations d'intensité (lumineuse) dans l'espace.
La transformée de Fourier permet de passer du domaine spatial ou temporel dans le domaine fréquentiel.
Dans un signal sonore (signal 1D), les basses fréquences représentenat les sons graves et les hautes fréquences, les sons aigus.
Dans le cas d'une image (signal 2D), les basses fréquences représentent les grandes surfaces homogènes et les parties floues alors que les hautes fréquences représentent les contours, plus généralement les changements brusques d'intensité et enfin le bruit.
Dans le cas de signaux numériques, l'information est discrétisée. L'analyse se fait donc grâce à la transformée de Fourier Discrète (TFD ou encore Discreet/Digital Fourier Transfrom).
Mathématique
Pour toute fonction continue f(x), on définit sa transformée de Fourier F(ν) par :
On peut étendre cette définition à des signaux 2D :
avec :
, les coordonnées spatiales
, les coordonnées spectrales
Et réciproquement :
Cette transformation est réversible et l’on peut écrire :
Néanmoins, en informatique tous les signaux utilisés sont échantillonnés et quantifiés, et de ce fait seul l'équivalent discret (TFD) de la transformée de Fourier continue est utilisé.
Sa définition mathématique pour un signal s de N échantillons est la suivante :
 |
 |
La transformée inverse est donnée par :
 |
 |
Calcul
Soit F une image de taille (m,n) contenant m*n échantillons. Selon la formule, le temps de calcul du spectre entier doit prendre (n*m)² opérations et nécessite donc une optimisation indispensable.
En une dimension, il existe de multiples algorithmes qui peuvent être utilisés. L'un des plus répandus est l'algorithme de Cooley-Tukey (« algorithme papillon », 1965). Adapté à partir d'une invention de Gauss (1805), il est basé sur une subdivision récursive de la transformée de Fourier discrète de taille t en plusieurs transformées de tailles inférieures t1 et t2. Le plus souvent il s'agit d'une division en deux parties identiques à chaque étape, ce qui nécessite que les dimensions de l'image soient des puissances de 2.
Cet algorithme est d'une complexité quasi linéaire Θ((m+n) ln(m+n)) et on cherche à le réutiliser pour les signaux 2D, au lieu de l'adapter. En effet la propriété de séparabilité de la transformée de Fourier 2D permet de diviser celle-ci en deux transformé;es parallèles de dimension 1 et d’utiliser la transformée de Fourier classique pour les calculer.
Ajustement
Les fréquences sont disposées de manière peu naturelle sur l'image obtenue, comme sur le schéma ci-dessous:
 |  |
résultat de la transformée de Fourier | après inversion des quadrants |
Il est considéré beaucoup plus naturel d'avoir les basses fréquences au centre de l'image et les hautes en périphérie (fig. ci-dessous). On choisit donc d'interchanger les quadrants. Ceci ne change rien au résultat, car l'image de la transformée est périodique et au fond la DFT peut être faite sur toute période de l'image.
Typiquement les basses fréquences dans les images sont beaucoup plus présentes (lentes et larges variations d'intensité), ainsi la majorité du contenu se trouve au centre du spectre des fréquences. Cela veut dire également que certaines propriétés sont vérifiées qui ne le sont pas autrement.
Répartition des fréquences dans une image
